Lindeberg Replacement 与 Stein's Method 总结

Lindeberg replacement 用混合求和技术，构造 \(W_k\)（前 \(k\) 个用高斯，后面用原始变量），把 \(\mathbb{E}[f(S) - f(S^G)]\) 拆成望远镜求和 \(\sum [f(W_{k-1}) - f(W_k)]\)，每一项只涉及把一个 \(X_k\) 换成 \(Y_k\)。在 leave-one-out 点做 Taylor 展开，利用均值和方差相同消去一、二阶项，剩下三阶余项决定逼近速率。代价是要求 test function \(f\) 三阶可微。

Stein's method 更一般：利用正态分布的特征性质 \(\mathbb{E}[f'(Z) - Zf(Z)] = 0\)，构造 Stein 方程，把 \(\mathbb{E}[h(W) - h(Z)]\) 转化为对方程解 \(f_h\) 的算子期望估计。核心优势是即使 \(h\) 不光滑（如 indicator），ODE 的正则化效应保证 \(f_h\) 光滑可展开。

两者在高维中都遇到困难：Taylor 展开的三阶余项涉及 \(\sum_{j,k,l}\) 三重求和，共 \(p^3\) 项，随维度爆炸。CCK 的 Gaussian approximation 融合了两者的核心元素（Slepian 连续插值 + leave-one-out），并用 smooth max（softmax）让三阶导数总和被常数 6 控制，把 \(p\) 维问题降成"有效一维"，从而实现了允许 \(p \gg n\) 的高维正态逼近。